Barisan dan Deret Aritmatika
A) Barisan Aritmatika
1. Pengertian Barisan Aritmatika
1. Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembeda yang dilambangkan dengan b . Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un – ( Un-1 ) selalu tetap.
Bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut :
U1,U2,U3,...... ,Un-1 atau a,a + b,a + 2b,……,a + (n-1) b
Keterangan : U1 = a = suku pertama
Un - Un-1 = beda = b
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku / urutan suku
Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n = 1,2,3,……
Keterangan : U1 = a = suku pertama
Un - Un-1 = beda = b
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku / urutan suku
Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n = 1,2,3,……
2. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan
Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b). Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b maka kita dapat menulis:
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3-1)b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4-1)b
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3-1)b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4-1)b
Un = a + (n-1)b
Contoh 1
Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ...
Tentukan rumus suku ke n dari barisan tersebut.
Penyelesaian :
Tentukan rumus suku ke n dari barisan tersebut.
Penyelesaian :
Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 3 dan beda barisan b = 7-3 = 4. Dengan demikian, suku ke n dari barisan tersebut adalah
Un = a + (n-1)b
Un = 4 + (n-1)4
Un = 4n -1
Jadi, rumus suku ke n dari barisan tersebut adalah Un = 4n -1
Un = 4 + (n-1)4
Un = 4n -1
Jadi, rumus suku ke n dari barisan tersebut adalah Un = 4n -1
Contoh 2
Tulis rumusnya 2,3,4,...
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n - 1
Tulis rumusnya 2,3,4,...
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n - 1
3. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan
pembentukan barisan bilangan
Contoh 1
Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ...
Tentukan suku ke 10 dari barisan tersebut.
Tentukan suku ke 10 dari barisan tersebut.
Penyelesaian :
Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 3 dan beda barisan b = 7-3 = 4. Dengan demikian, suku ke n dari barisan tersebut adalah
Un = a + (n-1)b
Un = 4 + (n-1)4
Un = 4n -1
Jadi, rumus suku ke n dari barisan tersebut adalah Un = 4n -1
Un = 4 + (n-1)4
Un = 4n -1
Jadi, rumus suku ke n dari barisan tersebut adalah Un = 4n -1
Berdasarkan jawaban a, diperoleh Un = 4n -1. Dengan demikian,
U10 = 4(10) -1 = 40 - 1 = 39
Jadi, suku ke 10 dari barisan tersebut adalah 39
Contoh 2
Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,....
Penyelesaian :
a = 2
b = 5-2 = 3
Un = a + (n-1) b
= 2 + (20-1) 3
= 2 + 60 – 3
= 59
Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,....
Penyelesaian :
a = 2
b = 5-2 = 3
Un = a + (n-1) b
= 2 + (20-1) 3
= 2 + 60 – 3
= 59
Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagai berikut :
a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.
b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.
a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.
b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah,
5 . Barisan Aritmatika Tingkat Banyak (Pengayaan)
Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan. Dengan menggunakan pembuktian Binomium Newton (tidak diuraikan disini), maka rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmatika tingkat banyak adalah :
Un = a + (n – 1)b + 1/2 (n -1)(n -2)c + 1/3 (n -1)(n - 2)(n-3)d + ….
Keterangan :
a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu
c = suku ke-1 barisan tingkat dua
d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya
Keterangan :
a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu
c = suku ke-1 barisan tingkat dua
d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya
6 . Suku tengah barisan aritmatika
Suatu barisan aritmatika yang jumlah sukunya ganjil dan lebih dari satu, tentu memiliki suku tengah (Ut). Maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).
sehingga diperoleh hubungan:
Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal , maka:
Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)
sehingga diperoleh hubungan:
Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal , maka:
Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)
Suku tengah ini memiliki hubungan yang khas sebagai beriku:
Perhatikan barisan aritmatika:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19
Jika diambil tiga suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7. Maka Ut = 4, U1=1, Un= 7, berlaku hubungan:
Jika diambil lima suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7, 10, 13. Maka Ut = 7, U1=1, Un= 13,
berlaku hubungan:
Demikian seterusnya jika diambil n suku ganjil maka berlaku hubungan :
Sisipan Barisan Aritmatika
Bila diketahui dua suku barisan aritmatika adalah x dan y. Diantara x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru dengan beda b'. Maka barisan aritmatika tersebut dapat ditulis :
x, x + b', x + 2b', x + 3b', .... , x + kb', y (disisipkan sebanyak k)
Banyak sukunya menjadi k + 2
Selisih dua suku berurutan tetap. Maka berlaku :
(x + b') - x = y - (x + kb')
b' = y - x - kb'
kb' + b' = y - x
(k+1)b' = y - x
Karena y - x adalah beda mula-mula = b maka
Contoh :
Diantara tiap dua suku berurutan dari barisan 2, 11, 20 disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan baru tersebut!
Jawab :
Beda barisan semula (b) = 9 dan banyak bilangan yang disisipkan (k) = 2
Maka barisan yang terbentuk adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20
B) Deret Aritmatika atau Deret Hitung
1. Pengertian Deret Aritmetika
Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, ... barisan aritmetika. U1, U2, U3, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :
Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalahjumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah
Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus
2. Rumus Suku ke-n Deret Aritmetika
Rumus Suku ke-n untuk deret aritmetika:
Un = U1 + (n – 1)b
Un = suku ke-n
U1 = suku ke-1
n = banyak suku
b = beda
Contoh:
Deret Aritmetika 5 + 11 + 17 + 23 + …
Beda = 11 – 5 = 6
Suku ke-n = Un = U1 + (n – 1)b
| |
| |
3. Suku Tengah Deret Aritmatika
Suku tengah suatu deret aritmetika terletak ditengah antara U1 dan Un dengan banyak suku ganjil.
Suku tengah deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus berikut.
Contoh:
Deret 3 + 8 + 13 + 18 + … + 103
Suku tengah deret tersebut = 53
Suku tengah suatu deret aritmetika terletak ditengah antara U1 dan Un dengan banyak suku ganjil.
Suku tengah deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus berikut.
Contoh:
Deret 3 + 8 + 13 + 18 + … + 103
Suku tengah deret tersebut = 53
4. Sisipan pada Deret Aritmatika
Sisipan dalam deret aritmetika adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmetika sehingga terjadi deret
aritmetika yang baru
Deret mula-mula:
3 + 15 + 27 + …
Setelah disisipi:
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + …
Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan
b1 dan dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
b1 = beda pada deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Contoh:
Di antara dua suku yang berurutan pada deret
7 + 19 + 31 + 43 + 55 + … disisipkan dua buah bilangan, maka:
b = 19 – 7 = 12
k = 2
Beda deret baru setelah diberi sisipan adalah 4
5. Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika
Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus:
atau
Contoh:
Jumlah 14 suku pertama dari deret
4 + 12 + 20 + 28 + 36 + …
Ditentukan dengan cara
U1 = 4
b = 12 – 4 = 8
n = 14
Karena Un tidak diketahui, kita gunakan rumus kedua, yaitu:
Jadi, Jumlah 20 suku pertama dari deret
4 + 12 + 20 + 28 + 36 + … adalah 784
Sisipan dalam deret aritmetika adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmetika sehingga terjadi deret
aritmetika yang baru
Deret mula-mula:
3 + 15 + 27 + …
Setelah disisipi:
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + …
Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan
b1 dan dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
b1 = beda pada deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Contoh:
Di antara dua suku yang berurutan pada deret
7 + 19 + 31 + 43 + 55 + … disisipkan dua buah bilangan, maka:
b = 19 – 7 = 12
k = 2
Beda deret baru setelah diberi sisipan adalah 4
5. Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika
Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus:
atau
Contoh:
Jumlah 14 suku pertama dari deret
4 + 12 + 20 + 28 + 36 + …
Ditentukan dengan cara
U1 = 4
b = 12 – 4 = 8
n = 14
Karena Un tidak diketahui, kita gunakan rumus kedua, yaitu:
Jadi, Jumlah 20 suku pertama dari deret
4 + 12 + 20 + 28 + 36 + … adalah 784
1. Pengertian Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah suku pertama deret aritmatika, Un suku ke-n, Sn jumlah Un . Maka:
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
Sifat Deret Aritmatika
1) Un – U(n - p) = b . p
2) Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n-1) b}
C. Sisipan dan Deret Aritmatika
1. Pengertian Sisipan
Sisipan dalam deret aritmatika adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika, sehingga terjadi deret aritmatika yang baru.
Contoh
Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +......
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +…...
2. Beda Deret Baru
Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b1 dan dapat ditentukan dengan rumus berikut :
b1 = b
k+1
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Contoh :
Di antara dua suku yang berurutan pada deret 6 + 15 + 24 + 33 + ... disisipkan 2 buah bilangan, maka :
b = 15 – 6 = 9 dan k = 2
b = 9 = 3
k+1 2+1
1) Un – U(n - p) = b . p
2) Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n-1) b}
C. Sisipan dan Deret Aritmatika
1. Pengertian Sisipan
Sisipan dalam deret aritmatika adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika, sehingga terjadi deret aritmatika yang baru.
Contoh
Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +......
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +…...
2. Beda Deret Baru
Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b1 dan dapat ditentukan dengan rumus berikut :
b1 = b
k+1
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Contoh :
Di antara dua suku yang berurutan pada deret 6 + 15 + 24 + 33 + ... disisipkan 2 buah bilangan, maka :
b = 15 – 6 = 9 dan k = 2
b = 9 = 3
k+1 2+1
Deret Aritmatika
a,a + b,a + 2b,a + 3b,...
Dalam hal ini suku ke-n:Jumlah semua suku:
Misalnya, jumlah semua suku dari suatu suku dengan bentuk an = 3 + (n-1)(5) sampai suku ke-50 adalah
Contoh: Carilah suku ke-20 dah jumlah 15 suku pertama dr barisan 2,5,8,11,..
solusi :
a=2
b=5-2=3
suku ke-20 (U20)
=2+(20-1)3
=59
jumlah 15 suku pertama(S15)
=15/2{2.2+(15-1)3}
=15/2(4+42)
=195
Mudah bukan? ^_^
1. Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn =-n2 + 4n. Rumus umum suku
ke-n deret aritmatika tersebut adalah ….
A. Un = -2n + 5
B. Un = -2n+4
C. Un = -2n + 3
D. Un = -2n -5
E. Un = -2n -6
2. Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
E. 315
3. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen …. buah.
A. 60
B. 65
C. 70
D. 75
E. 80
4. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp 50.000,00, bulan kedua Rp 55.000,00 bulan ketiga Rp 60.000,00 dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut adalah ….
A. Rp 1.315.000,00
B. Rp 1.320.000,00
C. Rp 2.040.000,00
D. Rp 2.580.000,00
E. Rp 2.640.000,00
5. Dari suatu deret aritmatika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah ….
A. 3.250
B. 2.650
C. 1.625
D. 1.325
E. 1.225
6. Jumlah n buah suku pertama deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = n/2 (5n-19). Beda deret tersebut adalah ….
A. -5
B. -3
C. -2
D. 3
E. 5
7. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmatika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …..
A. 49
B. 50
C. 95
D. 95
E. 98
8. Dari deret aritmatika diketahui suku terngah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah ….
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
E. 25
9. Tiga bilangan positif membentuk barisan bilangan geometri. Jika ketiga bilangan tersebut ditambahkan hasilnya 7/4 dan jika dikalikan hasilnya 1/8. Bilangan terbesar pada ketiga bilangan tersebut adalah ….
A. 2
B. 1
C. 1/2
D. 1/3
E. 1/8
10. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun …..
A. Rp 20.000.000,00
B. Rp 25. 312.500,00
C. Rp 33.750.000,00
D. Rp 35.000.000,00
E. Rp 45.000.000,00
11. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 meter dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….
A. 65 m
B. 70 m
C. 75 m
D. 77 m
E. 80 m
12. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali adalah …. cm
A. 378
B. 390
C. 570
D. 762
E. 1.530
13. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret
tersebut adalah ….
A. 7/4
B. 3/4
C. 4/7
D. 1/2
E. 1/4
14. Pertambahan penduduk suatu kota setiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah ….. orang
A. 324
B. 486
C. 648
D. 1.458
E. 4.374
No comments:
Post a Comment