BILANGAN PRIMA, FBB, DAN KPK

Share

RANGKUMAN

BILANGAN PRIMA, FBB, DAN KPK

Ditunjukan untuk Memehuhi Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan

Semester II Tahun 2011/2012

Dosen: Ferry Ferdianto,S.T.,M.pd

Disusun oleh:

Moh.haris

110070286

Program Studi Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Swadaya Gunung Jati

 2011

1.     BILANGAN PRIMA

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.

Contoh Bilangan Prima : 

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …}

Faktorisasi Prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.

Cara mencari faktorisasi prima :

1.  Menggunakan Pohon Faktor

a.         24                    Faktorisasi Prima dari 24         =  2 X 2 X 2 X 3

                                                                                    =  2³ X 3

           2        12

 

2               6

2        3

b.         30                    Faktorisasi Prima dari 30         =  2  X  3  X  5

 

2                 15

 

                3           5

2.  Menggunakan Tabel

a.                          60

2	30
2	15
3	5
5	1

            Faktorisasi Prima dari 40         =  2 X 2 X 3 X 5

                                                            =  2² X 3 X 5

b.                             180

2	90
3	30
5	6
2	3

            Faktorisasi Prima dari 150       =  2 X 3 X 5 X 2

                                                            =  2² X 3 X 5

2.     FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan.

Cara mencari FPB

1.      Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

Contoh

·         Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24

Faktor 18  =  {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Faktor 24  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor persekutuan dari 18 dan 24 =  { 1, 2, 3, 6}

FPB dari 18 dan 24 =  6

·         Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120

Faktor 75  =  {1, 3, 5, 15, 25, 75}

Faktor 120  =  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Faktor persekutuan dari 75 dan 120  =  {1, 3, 4, 15}

FPB dari 75 dan 120  =  15

·         Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72

Faktor 36  =  {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Faktor 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}

Faktor 72  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

Faktor persekutuan dari 36 dan 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 12}

FPB dari 36 dan 48  =  12

3.      Menggunakan Pohon Faktor

·      Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.

·      Tulis faktorisasi primanya.

·      Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.

·      Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.

Contoh

·         Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

·            2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi    prima kedua pohon faktor.

·            Pangkat terendah dari 2 adalah 1.

·            Pangkat terendah dari 5 adalah 1.

·            Maka FPB =  2 X 5  =  10

·            Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

·      2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.

·      Pangkat terendah dari 2 adalah 2.

·      Pangkat terendah dari 3 adalah 1.

·      Maka FPB =  2² X 3 =  12

4.      Menggunakan Tabel

·         Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.

·         Beri tanda faktor prima yang sama.

Contoh

Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

	21	35
3	7	5
5	7	1
7	1	1

FPB  =  3

·            Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

FPB  = 2 X 3 X 3

         =  2 X 3² =  18

3.     KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

KPK merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa bilangan

                             

Cara mencari KPK

1.      Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan

Contoh :

a. Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12

    Kelipatan 8     =  {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}

    Kelipatan 12   =  {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}

    Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12  =  { 24, 48, …}

    KPK dari 8 dan 12 =  24

b.  Tentukan KPK dari bilangan 15 dan 20

     Kelipatan 15            =  {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}

                 Kelipatan 20            =  {20, 40, 60, 80, 100,120, …}

                 Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20  =  {60, 120, ….}

                 KPK dari 15 dan 20 =  60

2.      Menggunakan Pohon Faktor

·      Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.

·      Tulis faktorisasi primanya.

·      Kalikan semua faktorisasi prima

·      Jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan pangkat yang tertinggi.

Contoh :

1.      Tentukan KPK dari bilangan 10 dan 15

·         2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.

·         Pangkat tertinggi 5 adalah 1

·         Maka KPK =  2 X 3 X 5 =  30

2.      Tentukan KPK dari bilangan 12 dan 30

·         2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.

·         Pangkat tertinggi 2 adalah 2.

·         Pangkat tertinggi 3 adalah 1.

·         Maka KPK = 2² X 3 X 5  =  60

3.      Menggunakan Tabel

·         Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.

·         Kalikan semua faktor prima.

Contoh

1.      Tentukan KPK dari bilangan 16 dan 40

	16	40
2	8	20
2	4	10
2	2	5
2	1	5
5	1	1

KPK  =  2 X 2 X 2 X 2 X 5

          =   2⁴ X 5  =  80

2.      Tentukan KPK dari bilangan 36 dan 54

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

KPK  = 2 X 2 X 3 X 3 X 3

          =  2² X 3³ =  108

Contoh Soal FPB dan KPK

1.      Andi mempunyai 20 butir kelereng merah, 28 butir kelereng putih, dan 36 butir kelereng biru.  Kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kantong dengan isi sama banyak.  Berapa kantong yang diperlukan ?  Berapa butir kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng biru dalam satu kantong ?

Penyelesaian

FPB dari 20, 28, dan 36

	20	28	36
2	10	14	18
2	5	7	9
3	5	7	3
3	5	7	1
5	1	7	1
7	1	1	1

FPB dari 20, 28, dan 36  =  2 X 2 = 4

Jadi jumlah kantong yang diperlukan =  4 kantong

Isi tiap kantong :

·         Kelereng merah          =  20  :  4  =  5 butir

·         Kelereng putih            =  28  :  4  =  7 butir

·         Kelereng biru   =  36  :  4  =  9 butir

Pak Indra mendapat giliran ronda setiap 4 hari.  Pak Ivan mendapat giliran ronda setiap 6 hari.  Pak Santo mendapat giliran ronda setiap 8 hari.  Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama ?  Jika mereka ronda bersama-sama tanggal 1 April 2009, tanggal berapakah mereka ronda bersama-sama lagi ?

Penyelesaian

KPK dari 4, 6 dan 8

	4	6	8
2	2	3	4
2	1	3	2
2	1	3	1
3	1	1	1

KPK dari 4, 6, dan 8     =  2 X 2 X 2 X 3

=  2³ X 3

=  8  X  3

=  24

Jadi mereka ronda bersama-sama setiap 24 hari.

Jika tanggal 1 April mereka ronda bersama-sama, maka tanggal 25 April mereka ronda bersama-sama lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Hidayat, Moh. Syamsul, 1990, Buku Pintar Matematika Sekolah Dasar, Surabaya : CV Duta Graha Pustaka.

Wirasto, dkk, 1987, Matematika ( Jilid 1-6), Jakarta : Balai Pustaka.